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《数学分析》（史怀济-中国科学大学）学习笔记

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# 史怀济《数学分析》学习笔记

《数学分析》，史怀济，中国科学大学，视频：共220讲，[B站视频链接](https://www.bilibili.com/video/av18844091)

> 因为此文件包含大量的公式，如果：
>
> * 你在GitHub online查看，建议使用Chrome配合Chrome插件[MathJax Plugin for Github](https://chrome.google.com/webstore/detail/mathjax-plugin-for-github/ioemnmodlmafdkllaclgeombjnmnbima?hl=en)以便查看排版后的LaTeX
> * 你下载此Repo源文件到本地，建议使用[Typora](https://support.typora.io)并开启([Inline Math](https://support.typora.io/Math/#inline-math))后查看。

- [史怀济《数学分析》学习笔记](#史怀济数学分析学习笔记)
	- [第一章 实数和数列极限](#第一章-实数和数列极限)
		- [1.1 实数](#11-实数)
			- [问题1.1](#问题11)
			- [问题1.2](#问题12)
		- [1.2 数列和收敛数列](#12-数列和收敛数列)
		- [1.3 收敛数列的性质](#13-收敛数列的性质)
		- [1.4 数列极限的推广](#14-数列极限的推广)
		- [1.5 单调数列](#15-单调数列)
		- [1.6 自然对数的底 e](#16-自然对数的底-e)
		- [1.7 基本列和Cauchy收敛原理](#17-基本列和cauchy收敛原理)
		- [1.8上确界和下确界](#18上确界和下确界)
		- [1.9 有限覆盖定理](#19-有限覆盖定理)
		- [1.10 上极限和下极限](#110-上极限和下极限)
		- [1.11 Stolz定理](#111-stolz定理)
	- [第二章 函数的连续性](#第二章-函数的连续性)
		- [2.1 集合的映射](#21-集合的映射)
		- [2.2 集合的势](#22-集合的势)
		- [2.3 函数](#23-函数)
			- [练习题 2.3](#练习题-23)
		- [2.4 函数的极限](#24-函数的极限)
			- [练习题](#练习题)
		- [2.5 极限过程的其他形式](#25-极限过程的其他形式)
		- [2.6 无穷小与无穷大](#26-无穷小与无穷大)
		- [2.7 连续函数](#27-连续函数)
		- [2.8 连续函数与极限计算](#28-连续函数与极限计算)
		- [2.9 函数的连续性](#29-函数的连续性)
		- [2.10 有限闭区间上连续函数的性质](#210-有限闭区间上连续函数的性质)
		- [2.11 函数的上极限和下极限](#211-函数的上极限和下极限)
		- [2.12 混沌现象](#212-混沌现象)
	- [第三章 函数的导数](#第三章-函数的导数)
		- [3.1 导数的定义](#31-导数的定义)
		- [3.2 导数的计算](#32-导数的计算)
		- [3.3 高阶导数](#33-高阶导数)
		- [3.4 微分学的中值定理](#34-微分学的中值定理)
		- [3.5 利用导数研究函数](#35-利用导数研究函数)
		- [3.6 L'Hospital法则](#36-lhospital法则)
		- [3.7 函数作图](#37-函数作图)
	- [参考](#参考)

## 第一章 实数和数列极限

### 1.1 实数

#### 问题1.1

**1. 非负整数 $a$, $b$ 使得 $\frac{a^2 + b^2}{ab + 1}$为整数，求证这个整数必是某一个整数的平方。**

方法一（反证法、[韦达跳跃](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9F%8B%E9%81%94%E8%B7%B3%E8%BA%8D)）：

令
$$
k = \frac{a^2 + b^2}{ab + 1}
$$

- 假设存在一个或更多不是完全平方数的解 $k$ 。
- 对特定 $k$ ，$(x, y) = (A,B)$ 是方程 $x^2 + y^2 - mxy = 0$ 正整数解对。
- 由于 $x^2 + y^2 - mxy - m = 0$ 是关于 x,y 对称的方程，先设 $A \ge B$。
- 再设原整数方程关于 $A$ 的二次方程，即为：$x^2 + b_1^2 - kBx- m = 0$，$x = A$ 是其中一个正整数根。利用[韦达定理](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9F%8B%E9%81%94%E5%AE%9A%E7%90%86)，可将另一根表示成$x_2 = kB - A$或是$x_2 = \frac{B^2 – k}{A}$。
- 从 $x_2$的第一个表示式可得$x_2$为整数，第二个表示式可得$x_2 \neq 0$，因为$k$不是完全平方数。进一步，从$\frac{x_2^2 + b^2}{x_2B+1}=k>0$可得$x_2$为正整数。
- 最后，从$A>B$可推出$x_2=\frac{B^2-k}{A}<A$，所以$x_2 + B < A + B$，与$A + B$为最小矛盾。

方法二（[无穷递降法](https://www.zhihu.com/question/60664582)）：

令 $k = \frac{a^2 + b^2}{ab + 1}$
1. 当 $a = b$时，
 - $k = \frac{2a^2}{a^2 + 1} = (2 - k)a^2 > 0$，即： $2 - k > 0, k \in (0, 2)$，因为$k$是整数，那么 $k = 1$
2. 当 $a \neq b$，设 $a > b$，则
 - $k = \frac{a^2 + b^2}{ab + 1} > \frac{a^2 + b^2}{a^2 + 1} > 1$
 - 根据题目条件，得到$a^2 - bka + b^2 - k = 0$, 且该方程必有正整数根 $a$。设另一根为 $a_1$。得到
 - $a^2 - bka + b^2 - k = 0, \tag{1}$
 - $a_1^2 - bka_1 + b^2 - k = 0, \tag{2}$
 - $(1), (2)$两式相减及相加（其实这是[韦达定理](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9F%A6%E8%BE%BE%E5%AE%9A%E7%90%86)），可以得到
 - $a + a_1 = bk, \tag{3}$
 - $b^2 - k = a a_1, \tag{4}$
 - 根据题目定义，$b, k$ 是整数，所以 $a_1$是整数。
 - 接着证明 $a_1$ 的正负性：
 - 设 $a_1 \leq -1$, 则 $(a_1^2 + b^2) = k(a_1b + 1) \leq k(-b + 1) \leq 0$ 不成立，所以 $a_1 \ge 0$。
 - 所以 $0 \leq a_1 = \frac{b^2 - k}{a} < \frac{b^2}{a} a_1 > b_1 \ge 0$，使得 $k = \frac{a_1^2 + b_1^2}{a_1b_1 + 1}$
- 这样回到了原来的情况，不过这时有 $a > b > a_1 > b_1$
- 上述过程可以无限循环，最后必然有一个 $a_i = 0$ 或 $b_i = 0$。不论任何情况，$k$都是一个平方数。

#### 问题1.2

**2.若$a_1 \leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$，$b_1 \leq b_2 \leq \cdots \leq b_n$，证明Tchebycheff不等式**：
$$
\sum_{i=1}^n a_i \sum_{i=1}^n b_i  \leq n\sum_{i=1}^n a_i b_i
$$

证明：

由[排序不等式](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%92%E5%BA%8F%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F)可知，最大的和为顺序和：$a_1b_1+ \cdots + a_nb_n$

因此有：
- $a_1b_1 + a_2b_2+ \cdots + a_nb_n = a_1b_1+ a_2b_2+ \cdots + a_nb_n$
- $a_1b_1 + a_2b_2+ \cdots + a_nb_n \ge a_1b_2 + a_2b_3 + \cdots + a_nb_1$
- $a_1b_1 + a_2b_2+ \cdots + a_nb_n = a_1b_3 + a_2b_4 +  \cdots + a_nb_2$
- $\vdots$
- $a_1b_1+ a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \ge a_1b_n + a_2b_1 + \cdots + a_nb_{n-1}$

将这$n$个不等式分边相加，同时对右边进行因式分解，便得到：

$n(a_1b_1 + a_2b_2+ \cdots + a_nb_n) \ge (a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n)(b_1 + b_2+ \cdots + b_n)$
两边同时处于$n$，即证明了命题。

### 1.2 数列和收敛数列

例四里用到 **几何平均-算术平均不等式**:

$$ \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \leq \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} $$

### 1.3 收敛数列的性质

练习题 1.3 第3、4、5题

### 1.4 数列极限的推广

练习题 1.4 第3题

### 1.5 单调数列

练习题 1.5 第1题

### 1.6 自然对数的底 e

对于

$$
e_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n
$$

是单调递增数列，并且有上界。

证明用到二项式定理有：
$$
e_n = 1 + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \frac{1}{n^k}
$$

自然对数 $e$ :
$$
e = \lim_{n\rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)
$$
练习题 1.6 第2题

### 1.7 基本列和Cauchy收敛原理

**基本列的定义**：设$\{a_n\}$是一列实数列。对任意给定的$\epsilon>0$，若存在$N\in N^*$，使得当$m, n\in N^*$且$m,n>N$时，有 $|a_m-a_n|<\epsilon$

数列收敛的充分必要条件是，数列是基本列。

**引理**：从任一数列中必可取出一个单调子列。

**定理** Bolzano-Weierstrass定理：从任何有界的数列中必可选出一个收敛的子列。

**定理**：一个数列收敛的充分必要条件是它是基本列。

### 1.8上确界和下确界

**定义1.8.1**：设$E$为一非空的有上界的集合，实数$\beta$满足一下两个条件：

* 对任何$x \in E$，有$x \leq \beta$；
* 对任意给定的$\epsilon >0$，必可找到一个$x_\epsilon \in E$，使得$x_\epsilon > \beta - \epsilon$

这时，称$\beta$为集合$E$的**上确界**，记作$\beta = \mathbb{sup} E$。

**定义1.8.2**：设$E$为一非空的有上界的集合，实数$\alpha$满足一下两个条件：

- 对任何$x \in E$，有$x \geq \alpha$；
- 对任意给定的$\epsilon >0$，必可找到一个$_y\epsilon \in E$，使得$x_\epsilon < \alpha + \epsilon$

这时，称$\alpha$为集合$E$的**下确界**，记作$\alpha = \mathbb{inf} E$。

**定理1.8.1**：非空的有上界的集合必有上确界；非空的有下界的集合必有下确界。

### 1.9 有限覆盖定理

**定义1.9.1**：如果$A$是实数集，$\mathscr{J}=\left\{I_{\lambda}\right\}$是一个开区间族，其中$\lambda \in \Lambda$，这里的$\Lambda$称为指标集。如果
$$
A \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda} I_{\lambda}
$$
称开区间族$\{ I_\lambda \}$是$A$的一个**开覆盖**，或者说$\{I_\lambda\}$盖住了$A$。

$\mathscr{J}=\left\{I_{\lambda}\right\}$是$A$开覆盖也可以等价叙述为：任取 $a \in A$，总有$\mathscr{J}$中的一个成员，记为$I_{\lambda(a)}$，使得$a \in I_{\lambda(a)}$。

**定理1.9.1（紧致性定理）**：设$[a, b]$是一个有限闭区间，并且它有一个开覆盖$\{ I_\lambda \}$，那么从这个开区间族中必可选取有限个成员（开区间）来，这有限个开区间所成的族任事$[a, b]$的开覆盖。也称为**有限覆盖定理**、**Heine-Borel定理**。

### 1.10 上极限和下极限

**定义1.10.1**：设$\{a_n\}$是一个数列，$E$是由$\{a_n\}$的全部极限点构成的集合。记
$$
a^{\space*}=\sup E, \quad a_{\space*}=\inf E
$$
$a^{\space*}, a_{\space*}$分别称为数列$\{a_n\}$的**上极限**和**下极限**，记为
$$
\limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}, \quad \liminf _{n \rightarrow \infty} a_{n}
$$
**定理1.10.1**：设$\{a_n\}$是一个数列，$E$和$a^*$的定义同前，那么：

* $a^* \in E$；
* 若$x > a^*$，则存在$N \in N^*$，使得当$n \geq N$时，有$a_n < x$；
* $a^*$是满足前两条性质的唯一数。

**定理1.10.2**：设$\{a_n\}$，$\{b_n\}$是两个数列：

* $\liminf _{n \rightarrow \infty} a_{n} \leq\limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}$；
* $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$当且仅当$\liminf _{n \rightarrow \infty} a_{n} = \limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n} = a$；
* 若$N$是某个正整数，当$n>N$时，$a_n \leq b_n$，那么

$$
\liminf _{n \rightarrow \infty} a_{n} \leq\liminf _{n \rightarrow \infty} b_{n}, \quad \limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n} \leq\limsup _{n \rightarrow \infty} b_{n}
$$

**定理1.10.3**：对于数列$\{a_n\}$，定义$\alpha_n=\inf_{k\geq n}a_k$, $\beta_n = \sup_{k \geq n} a_k$，那么：

* $\{\alpha_n\}$是递增数列，$\{\beta_n\}$是递减数列；
* $\lim_{n\rightarrow \infty}\alpha_n = a_*$, $\lim_{n\rightarrow \infty}\beta_n = a^*$。

### 1.11 Stolz定理

**定理1.11.1** $\left(Stolz, \frac{\infty}{\infty}型\right)$：设$\{b_n\}$是严格递增且趋于$+\infty$的数列。如果
$$
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}=A
$$
那么
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=A
$$
其中$A$可以是$+\infty$或者$-\infty$。

## 第二章 函数的连续性

### 2.1 集合的映射

**定义 2.1.1**：设$A, B$s是两个集合，如果$f$是一种规律，使得对$A$中的每一个元素$x$，$B$中唯一确定的元素——记作$f(x)$——与$x$对应，则称$f$是一个$A$到$B$的**映射**，用
$$
f: A \rightarrow B
$$
来表示。集合$A$叫作映射$f$的**定义域**；$f(x) \in B$叫作$x$在映射$f$之下的**像**或$f$在$x$的**值**。

**定义2.1.2**：**相等**：设$f: A \rightarrow B$，且$g: A \rightarrow B$。如果对任何$x \in A$，均有$f(x) = g(x)$，则称映射$f$与$g$**相等**，记为$f=g$。

**定义2.1.3**：**满射**：设$f: A \rightarrow B$，如果$f(a)=B$，则称$f$是从$A$到$B$上的**满射**，也就是说，$B$中的任何元素都是$A$中某一元素在$f$之下的像。

**定义2.1.4**：**单射**：设$f: A \rightarrow B$，如果当$x, y \in A$，且$x \neq y$时，有$f(x) \neq f(y)$，则称$f$为**单射**。

**定义2.1.5**：**一对一**：设$f: A \rightarrow B$，既是单射又是满射，则称映射$f$是**一对一**的，这时，也说$f$在集合$A$与$B$之间建立一个**一一对应**。

![](https://raw.githubusercontent.com/loveunk/math-analysis-notes/master/img/2.1.1.png)

**逆映射**：$f^{-1} : B \rightarrow A$，其规律是：如果$y=f(x)$，则$f^{-1}(y)=x$。

**定义2.1.6**：设$f : A \rightarrow B, f \subset B$，则$A$的子集
$$
f^{-1}(F) = \{x \in A: f(x) \in F\}
$$
叫做$F$的**原像**。

**定义2.1.7**：设映射$f : B \rightarrow C$，映射$g$的定义域为$A$。当$x \in A_1=g^{-1}(B)$时，定义映射
$$
f \circ g(x) = f(g(x))
$$
显然，$f \circ g : A_1 \rightarrow C$，称为映射$f$和$g$的**复合**。

$f^2 = f \circ f, f^3 = f \circ f \circ f, \cdots, f^n = f^{n-1} \circ f$

### 2.2 集合的势

设$A$与$B$两个集合，如果存在一个从$A$到$B$的一对一映射，称集合$A$与$B$有相同的“**势**”或有相同的“**基数**”，称$A$与$B$**等价**。用$A \sim B$表示。这种关系具有以下性质：

* 自反性：$A \sim A$
* 对成性：$A \sim B$且$B \sim A$
* 传递性：若$A \sim B$且$B \sim C$，则$A \sim C$

**定义2.2.1**：令$N^*$为正整数的全体，且 $N_{n}=\{1,2, \cdots, n\}$.

* **有限集**：如果存在一个正整数$n$，使得集合$A \sim N_{n}$，那么$A$叫做**有限集**。
* **无限集**：如果集合$A$不是有限集，则称$A$为无限集。
* **可数集**：若$A \sim N_{n}$，则称$A$为可数集。
* **不可数集**：若$A$既不是有限集，也不是可数集，则称$A$为**不可数集**。
* **至多可数**：若$A$是有限集或者$A$是可数集，则称$A$是**至多可数**的。

**定理2.2.1**：可数集$A$的每一个无限子集是可数集。

**定理2.2.3**：$\mathbb{R}$中的全体有理数是可数的。

**定理2.2.4**：$[0, 1]$上的全体实数是不可数的。

### 2.3 函数

**函数**是一类特殊的映射，如果对映射$f: X \rightarrow Y$，$X$与$Y$都是由实数组成，则$f$称为一个**函数**。

**分段函数**：由多个公式联合起来表示的函数

**函数的和**：设$f$和$g$是两个函数，定义域分别为$A$和$B$，那么在$A \cap B$上，$f+g$称作$f$与$g$的**和**，写作：
$$
(f+g)(x)=f(x)+g(x), x \in A \cap B
$$
类似的，可以定义$f$与$g$的**差、积、商**：
$$
\begin{array}{c}{(f-g)(x)=f(x)-g(x)} \\ {\quad(f g)(x)=f(x) g(x)} \\ {\quad\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}}\end{array}
$$
**反函数**：设函数$f$在$X$与$Y$之间建立了一个一一对应，那么有逆映射$f^{-1}: Y \rightarrow X$，称$f^{-1}$为$f$的反函数。

定义2.3.1：**递增（递减）函数**：对于函数$f : X \rightarrow Y$，如果对于任何$x_1, x_2 \in X$，只要 $x_1 < x_2$，便有$f(x_1) \leq f(x_2) （f(x_1) \geq f(x_2)）$。**严格（递减）函数**：对于函数$f : X \rightarrow Y$，如果对于任何$x_1, x_2 \in X$，只要 $x_1 < x_2$，便有$f(x_1) < f(x_2) （f(x_1) > f(x_2)）$。

**定义2.3.1（严格）单调函数**：在$X$上的（严格）递增或（严格）递减函数。

**定理2.3.1**：设函数$f$在其定义域$X$上是严格递增（递减）的，那么反函数$f^{-1}$必存在，$f^{-1}$的定义域为$f(X)$，$f^{-1}$在这一集合上也是严格递增（递减）的。

#### 练习题 2.3

2、反证法：如果$f$没有不动点，那么$f \circ f$也没有不动点；如果$f$有多个不动点，那么$f \circ f$也有多个不动点。

3、反证法：假设存在$f(a) = d, f(d) = a, d \neq b$，那么$d$也是不动点，与题目矛盾

4、（1）$f(x) = x, f(x) = -x$ （2）$f(x) = x$

7、以任何正数为周期，那么对于任意$l$有$f(x + l) = f(x)$

8、（1）$\sin()$的周期是 $2 \pi$，如果$\sin x^2$是周期函数，存在$l$使得$(x+l)^2=x^2+2n\pi$对所有的$x$取值成立。唯一的解是 $l=0$。

（2）

### 2.4 函数的极限

**定义2.4.1 函数极限：**设函数$f$在点$x_0$的附近有定义，但$x_0$这一点自身可以是例外。设$l$是一个实数，如果对任意给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta >0$，使得对一切满足不等式$0<|x-x_0|<\delta$的$x$，均有
$$
|f(x)-l|<\epsilon
$$
则称当$x$趋于点$x_0$时函数$f$有**极限**$l$，记作
$$
\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=l
$$
或
$$
f(x) \rightarrow l \quad (x \rightarrow x_0)
$$
**定理2.4.2（函数极限的唯一性）**：若$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)$存在，则它是唯一的。

**定理2.4.3**：若$f$在$x_0$处有极限，那么$f$在$x_0$的一个近旁是有界的。也就是，存在整数$M, \delta$，使得当$0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$时，$ f(x)|<M$。

**定理2.4.4**：$\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$与$\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$都存在时，那么有：

* $\lim _{x \rightarrow x_{0}}(f \pm g)(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \pm \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$
* $\lim _{x \rightarrow x_{0}}fg(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \cdot  \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$
* $\lim _{x \rightarrow x_{0}}\frac{f}{g}(x)=\frac{\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)}{\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)}$，其中$\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x) \neq 0$

**定理2.4.5**：设函数$f, g$与$h$在点$x_0$的近旁（点$x_0$自身可能是例外）满足不等式
$$
f(x) \leq h(x) \leq g(x)
$$
如果$f, g$在点$x_0$有相同的极限$l$，那么$h$点$x_0$也有极限$l$。

**定理2.4.6**：设存在$r>0$，使得当$0<|x-x_0|<r$时，不等式$f(x)\leq g(x)$成立，又设在$x_0$出这两个函数都有极限，那么
$$
\lim_{x \rightarrow x_0}f(x) \leq \lim_{x \rightarrow x_0}g(x)
$$
**定理2.4.7**：函数$f$在$x_0$有极限，必须且只需对任意给定的$\epsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得对任意的$x_1, x_2 \in B_\delta(\hat x_0)$，都有$|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$。

**定理2.4.8**：设$\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)=l, \lim_{x \rightarrow t_0}g(t)=x_0$，如果在$t_0$的某个领域$B_{\eta}(t_0)$内$g(t) \neq x_0$，那么
$$
\lim_{t \rightarrow t_0} f(g(t))=l
$$
**定义2.4.2**：设函数$f$在$(x_0, x_0+r)$上有定义。设$l$是一个给定的实数，若对任意给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta \in (0, r)$，使得$0 < x-x_0 < \delta$时，有
$$
|f(x) - l| < \epsilon
$$
则称$l$为$f$在$x_0$处的右极限，表示为
$$
l=\lim_{x \rightarrow x^+_0}f(x)
$$
右极限通常记作$f(x_0+)$，类似地，可以定义$f$在$x_0$处的左极限$f(x_0-)$。

**定理2.4.9**：设函数$f$在$x_0$的某个领域内（$x_0$可能是例外）有定义，那么$\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在的充分必要条件是
$$
f(x_0+) = f(x_0-)
$$
例子：
$$
\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1
$$

#### 练习题

11、（3）$x^{m-1}+x^{m-2}+\cdots+1=m$

（4）同理，$m/n$

（5）$\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac{1}{2}$

（7）

（8）$=\lim_{x \rightarrow 1}\left(\frac{x-1}{x-1}+\frac{x^2-1}{x-1}+\cdots+\frac{x^m-1}{x-1}\right)=1+2+\cdots+m=\frac{(1+m)m}{2}$

### 2.5 极限过程的其他形式

**定义2.5.1**：设$l$是一确定实数，表达式
$$
\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=l
$$
的意思是，对任意给定的$\epsilon > 0$，存在一个正数$A$，当$x$满足$|x|>A$时，有$|f(x)-l|<\epsilon$。这时，我们说“当x趋向于无穷时，函数$f$有极限$l$”。

**定义2.5.2**：对任意给定的$\epsilon > 0$，存在一个正数$A>0$，使得当$x<-A$时，有
$$
|f(x) - l| < \epsilon
$$

在这种情况下，我们说“在负无穷处函数$f$有极限$l$”，记作
$$
f(-\infty) = \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=l
$$
**定理2.5.1**：$\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=l$ 当且仅当
$$
f(-\infty) = \lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=l, f(+\infty) = \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=l
$$
同时成立。

### 2.6 无穷小与无穷大

**定义2.6.1**：设$x_0$是一个实数，函数$f(x)$在$x_0$的一个近旁（可能除$x_0$之外）有定义。如果对任意给定的正数A，存在$\delta>0$，使得$0<|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)|>A$，则称“当x趋向于$x_0$时，函数$f$趋向于**无穷大**”，记作
$$
\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\infty,
$$
或者
$$
f(x)\rightarrow\infty \quad (x\rightarrow x_0)
$$

类似的，如果$\lim f(x)=0$，则称“在该过程中，$f$是一个**无穷小（量）**”。

定义2.6.2：设当$x\rightarrow x_0$时，$f$与$g$都是无穷小，并且$g$在$x_0$的一个充分小的近旁（除$x_0$外）不取零值。

（1）如果$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$，那么称$f$是比$g$更高阶的无穷小；

（2）如果$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)} \neq 0$，那么称$f$是和$g$同阶的无穷小；

（3）如果（2）中的极限值$l=1$，那么称$f$与$g$石等阶的无穷小，记作$f \sim g \quad (x \rightarrow x_0)$。

类似的，如果$f, g$都是无穷大：

（1）如果$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$，那么称$g$是比$f$更高阶的无穷大；

（2）如果$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)} \neq 0$，那么称$f$是和$g$同阶的无穷大；

**定理2.6.1**：如果当$x\rightarrow x_0$（$x_0$可以是$\pm \infty$）时，$f,g$等价的无穷小或无穷大时，那么：

（1）$\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)h(x)=\lim_{x\rightarrow x_0}h(x)f(x)$

（1）$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{h(x)}=\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{g(x)}{h(x)}$

**定义2.6.3**：设函数$f,g$在$x_0$的近旁（$x_0$除外）有定义，并且$g(x)\neq 0$：

（1）当$x\rightarrow x_0$时，若比值$f(x)/g(x)$保持有界，即存在正常数$M$，使得$|f(x)|\leq M|g(x)|$成立，就用$f(x)=O(g(x))(x\rightarrow x_0)$来表示；

（2）当$x\rightarrow x_0$时，若比值$f(x)/g(x)$是一个无穷小，即$\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$，就用$f(x)=o(g(x))(x\rightarrow x_0)$表示。

### 2.7 连续函数

**定义2.7.1**：设$f:[a,b]\rightarrow R$，我们称函数$f$在点$x_0\in (a,b)$连续，如果
$$
\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)
$$
也就是说，对任意给定的$\epsilon >0$，存在一个适当的$\delta >0$，使得当$|x-x_0|<\delta$时，有
$$
|f(x) - f(x_0)|<\epsilon
$$

存在处处不连续的函数（如Dirichlet函数），也存在只在一点连续的函数。

**定义2.7.2**：如果$f(x_0+)=f(x_0)$，则函数在$x_0$处**右连续**，如果$f(x_0-)=f(x_0)$，则函数**左连续**。

**定理2.7.1**：如果函数$f$与$g$在$x_0$处连续，那么$f\pm g$与$fg$在$x_0$处连续，进一步，若$g(x_0)\neq 0$，则$f/g$也在$x_0$处连续。

**定理2.7.2**：如果函数$g$在$t_0$处连续，记作$g(t_0)$为$x_0$，如果函数$f$在$x_0$处连续，那么复合函数$f \circ g$在$t_0$处连续。

**定义2.7.3**：设I是一个开区间，例如$(a, b), (a, +\infty), (-\infty, b), (-\infty, +\infty)$。如果函数$f$在$I$上的每一点都连续，则称$f$在$I$上连续，是指$f$在$(a,b)$上连续，并且在$a$点处**右连续**，同时在$b$点处**左连续**。人们也称$f$是$I$上的**连续函数**。不论区间$I$是开区间或闭区间，有限或无穷的，用$C(I)$记$I$上连续函数的全体。

**定理2.7.3**：设$f$是在区间$I$上严格递增（减）的连续函数，那么$f^{-1}$是$f(I)$上的严格递增（减）函数。

**初等函数**：多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，以及经过它们有限次的四则运算、有限次复合所形成的函数，统称初等函数。

**定理2.7.4**：初等函数在它们各自的定义域上都是连续的。

设$x_0$是函数$f$定义域中的一点，如果$f$在$x_0$连续，则称$x_0$为f的**连续点**，否则为**间断点**。

**定义2.7.4**：设$x_0$是函数$f$的间断点：

1. 如果$f(x_0+)$与$f(x_0-)$存在，且是有限的数，但$f(x_0+) \neq f(x_0-)$，那么$x_0$为$f$的一个**跳跃点**。差值$|f(x_0+) - f(x_0-)|>0$称为$f$在这一点的**跳跃**。
2. 如果$f(x_0+)$与$f(x_0-)$存在且有限，并且$f(x_0+) = f(x_0-)$但是不等于$f(x_0)$，则称$x_0$为$f$**可去间断点**。
3. 如果$f(x_0+)$与$f(x_0-)$中至少有一个不存在或者不是有限的数，那么$x_0$叫做$f$的**第二类间断点**。
4. 跳跃点和可去间断点统称为$f$的**第一类间断点**。

**定理2.7.5**：设$f$是区间$(a, b)$上的递增（减）函数，则$f$的间断点一定是跳跃点，而且跳跃点集是至多可数的。

### 2.8 连续函数与极限计算

如果函数$f$在$x_0$处连续，那么
$$
\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)
$$
函数$f$在$x_0$处连续的事实可以表示为
$$
\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(\lim_{x\rightarrow x_0}x)
$$
极限的计算：

1. $\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{1/x}=\lim_{y\rightarrow \infty}(1+1/y)^y=e$

**幂指函数**：$u(x)^{v(x)}\quad (u(x)>0)$

* 当$u, v$时连续函数时，幂指函数也是连续函数。

### 2.9 函数的连续性

**定义2.9.1**：如果对任意给定的$\epsilon>0$，总是存在一个$\delta>0$，使得当$x_1, x_2 \in I$且$|x_1-x_2|<\delta$时，有$|f(x_1)-f(x_2)|<\delta$，则称函数$f$在区间$I$上是**一致连续**的。

**不是一致连续**：当且仅当存在一个$\epsilon_0 > 0$，对每一个$n\in N^*$，都可以在$I$中找到两个点，记为$s_n$和$t_n$，使得虽然有$|s_n-t_n|<1/n$，但是
$$
|f(s_n)-f(t_n)\geq \epsilon_0.
$$

### 2.10 有限闭区间上连续函数的性质

**定理2.10.1**：设函数$f$在$[a, b]$上连续，那么$f$在$[a, b]$上一致连续。（注意，此区间必须是有界的）

**定理2.10.2**：有界闭区间上的连续函数必在该区间上有界。

**定理2.10.3**：设$f$在$[a, b]$上连续，记
$$
M=\sup_{x\in [a, b]}f(x), \quad m = \inf_{x\in [a, b]}f(x),
$$
则必存在$x^*, x_* \in [a, b]$，使得
$$
f(x^*)=M, \quad f(x_*) = m.
$$
**定理2.10.4**（**零值定理**）：设$f$在$[a, b]$上连续，如果$f(a)f(b)<0$，则必存在一点$c\in (a, b)$，使得$f(c)=0$。

**定理2.10.5**（**介值定理**）：设$f$是在$[a, b]$上非常值的连续函数，$\gamma$是介于$f(a)$与$f(b)$之间的任何实数，则必存在$c \in (a, b)$，使得$f(c) = \gamma$。

**推论2.10.1**：设非常数值函数$f$在$I=[a, b]$上连续，那么$f$的值域$f(I)$是一个闭区间。

### 2.11 函数的上极限和下极限

**定义2.11.1**：令$E=\{l \in R_{\infty}:存在数列x_n\in B_{\delta}(\tilde{x}), x_n \rightarrow x_0, 使得f(x_n)\rightarrow l\}$

这是一个非空集合，设$a^*=\sup E, a_*=\inf E$，分别称它们为 $f$当$x \rightarrow x_0$时的上极限和下极限，分别记作
$$
\lim_{x \rightarrow x_0} \sup f(x), \quad \lim_{x \rightarrow x_0} \inf f(x).
$$
**定理2.11.1**：设函数$f$定义在$I$上，那么：

1. $a^{*} \in E$；
2. 若$y > a^*$，则存在$\delta > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$时，$f(x) < y$；
3. $a^*$是满足前述条件性质唯一的数。

**定理2.11.2**：设$f, g$在$I$上有定义，那么：

1. $\lim_{x \rightarrow x_0} \inf f(x) \leq \lim_{x \rightarrow x_0} \sup f(x)$；
2. $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = a$, 当且仅当$\lim_{x \rightarrow x_0} \inf f(x) = \lim_{x \rightarrow x_0} \sup f(x) = a$；
3. 若当$x \in I$时，$f(x) \leq g(x)$成立，则

$$
\lim_{x \rightarrow x_0} \inf f(x) \leq \lim_{x \rightarrow x_0} \inf g(x), \quad \lim_{x \rightarrow x_0} \sup f(x) \leq \lim_{x \rightarrow x_0} \sup g(x)
$$

### 2.12 混沌现象

自然界中，许多现象，是有严格的因果关系所支配的。例如月亮的阴晴圆缺、四季的更迭、日食和月食的发生……对这一类完全由因果关系支配的系统进行一般研究，自然有重大意义。这种完全由因果关系所制约的系统，通常叫做**决定性系统**。研究决定性系统的数学分支称为**动力系统理论**。

设$I$是任意一个区间，函数$f: I \rightarrow I$。将$f$反复地复合，产生$f^2(x) = f \circ f(x)$，一般地，$f^n(x) = f \circ f^{n-1}(x) (n \geq 3)$。规定$f^0(x) = x$，即表示恒等映射；$f^1(x) = f(x)$。称$f^n$为$f$的**第n次迭代**。

对任意固定的$x \in I$，考虑序列
$$
x, f(x), f^2(x), \cdots, f^n(x), \cdots.
$$
如果正整数$m$使得$f^m(x) = x$，乘$m$为点$x$的一个**周期**，称$x$为$f$的一个**周期点**。

那么$m$的任何正整数倍一定也是$x$的一个周期。

对于上述序列叫做点$x$的$n$**周期轨**。

**定义2.12.1**：设$f$施区间$I$到自身的连续映射，$f$满足下列条件：

(1). f的周期点的最小周期没有上界；
(2). 存在I的不可数子集S，满足：
    (a) 对任何$x, y \in S, x \neq y$，有
$$
\lim_{n \rightarrow \infty}\sup |f^n(x) - f^n(y)| > 0;
$$
    (b) 对任何$x, y \in S$，有
$$
\lim_{n \rightarrow \infty}\inf |f^n(x) - f^n(y)| = 0;
$$
这时称$f$描述的系统为**混沌系统**。

## 第三章 函数的导数

### 3.1 导数的定义

> [视频34](https://www.bilibili.com/video/av18844091/?p=34)

**定义 3.1.1**（可导的定义）：设函数$f$在点$x_0$的近旁有定义，如果极限
$$
\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
$$
存在且有限，则称这个极限值为$f$在点$x_0$的**导数**，记作$f'(x_0)$，并称函数$f$在点$x_0$**可导**。

**定义 3.1.2**（左右导数定义）：设函数$f$在点$x_0$的右边$[x_0, x_0+r]$上有定义。若极限
$$
\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
$$
存在且有限，则称此极限为$f$在点$x_0$的**右导数**，记作$f'_+(x_0)$。类似地，可定义$f$在点$x_0$的左导数$f'_-(x_0)$。

函数$f$在点$x_0$可导的充分必要条件是，在点$x_0$左、右导数存在且相等。

**定理 3.1.1**（可导与连续）：若函数$f$在点$x_0$可导，则$f$必在点$x_0$连续。

**定义 3.1.3**（在区间可导）：如果函数$f$在开区间$(a, b)$中每一点可导，则称$f$在$(a, b)$可导；如果$f$在$(a, b)$可导，并且在点$a$处有右导数，在点$b$处有左导数，则称$f$在闭区间$[a, b]$**可导**。

### 3.2 导数的计算

**定理 3.2.1**（求导的四则运算）：设函数$f$和$g$在点$x$处可导，则$f \pm g$, $fg$也在点$x$处可导；如果$g(x) \neq 0$，那么函数$f/g$也在点$x$处可导。具体为：

- (1) $(f \pm g)'(x) = f'(x) \pm g'(x)$
- (2) $(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$
- (3) $\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}$

**定理 3.2.2**（链式法则）：设函数$\phi$在点$t_0$处可导，函数$f$在点$x_0 = \phi(t_0)$处可导，那么复合函数$f \circ \phi$在点$t_0$处可导，并且
$$
(f \circ \phi)'(t_0) = f'(\phi(t_0)) \phi'(t_0)
$$
上述法则可以推广到三个或更多组合的复合函数。

**定理 3.2.3**（反函数的导数）：设$y = f(x)$在包含$x_0$的区间$I$上连续且严格单调。如果它在$x_0$处可导，且$f'(x_0) \neq 0$，那么它的反函数$x = f^{-1}(y)$在$y_0 = f(x_0)$处可导，并且
$$
(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}
$$
**导数的几何意义**：函数$f$在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$，可以看成平面曲线$y=f(x)$在点$(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。

**常见的求导公式**：
$$
c' = 0 \\
(x^\mu)' = \mu x^{\mu-1} \\
(e^x)' = e^x \\
(a^x)' = a^x\ln a \\
(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a} \\
(\ln x)' = \frac{1}{x} \\
(\sin x)' = \cos x \\
(\cos x)' = -\sin x \\
(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2x} \\
(\cot x)' = -\frac{1}{\sin^2x} \\
(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2} \\
(\text{arccot }x)' = -\frac{1}{1+x^2}
$$

### 3.3 高阶导数

设函数$f$在区间$I$上可导，那么$f'(x)(x \in I)$在$I$上定义了一个函数$f'$，称之为$f$的导函数。

如果$f'$在$I$上可导，那么$f'$的导函数$(f')'$记作$f''$，称为$f$的**二阶导函数**。

对于任何正整数$n \in \N^*$，可以定义$f$的$n$**阶导函数**$f^{(n)}$。

**定理 3.3.1**（Leibniz 莱布尼茨）设函数$f$与$g$在区间$I$上都有$n$阶导数，那么乘积$fg$在区间$I$上也有$n$阶导数，并且
$$
(fg)^{(n)} = \sum^n_{k=0}
\begin{pmatrix}
n\\
k
\end{pmatrix}
f^{(n-k)}g^{(k)}
$$
这里$f^{(0)} = f, g^{(0)} = g$。其中组合系数$\begin{pmatrix}
n\\
k
\end{pmatrix}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \quad(k=0,1,\cdots,n).$

### 3.4 微分学的中值定理

**定义 3.4.1**：设函数$f:(a, b) \rightarrow R$。如果对点$x_0 \in (a, b)$，存在$\delta > 0$，使得$\Delta = (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subset (a, b)$，并且当$x \in \Delta$时，$f(x_0) \ge f(x)$，即$f(x_0)$是$f$在$\Delta$上的最大值，那么称$f(x_0)$是$f$在$(a, b)$上的一个**极大值**，$x_0$称为$f$的一个**极大值点**。

类似地，可以定义$f$在$(a, b)$上的**极小值**和**极小值点**。

极小值和极大值统称**极值**，极小值点和极大值点统称**极值点**。

**定理 3.4.1（Fermat）**：若函数$f$在机极值点$x_0 \in (a, b)$处可导，则必有$f'(x_0) = 0$。

**定义3.4.2**：满足$x_0 \in (a, b)$且$f'(x_0) = 0$，则称$x_0$为函数$f$的一个**驻点**。

**定理3.4.2（Rolle 罗尔）**：设函数$f$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$内可导，且$f(a) = f(b)$，那么存在一点$\xi \in (a, b)$，使得$f'(\xi) = 0$。

**引理3.4.1**：设函数$f$与$\lambda$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，并且$\lambda(a) = 1, \lambda(b) = 0$，则必存在一点$\xi \in (a, b)$，使得
$$
f'(\xi) = \lambda'(\xi)(f(a) - f(b))
$$
**定理3.4.3（Lagrange）**：设$f$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，则存在一点$\xi \in (a, b)$，使得
$$
\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(\xi)
$$
**推论3.4.1**：设函数$f$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，则函数$f$在$[a, b]$上为常数的充分必要条件是 $f' = 0$在$(a, b)$上成立。

**定理3.4.4（Cauchy）**：设函数$f$和$g$在区间$[a, b]$上连续，在区间$(a, b)$上可导，且当$x \in (a, b)$时，$g'(x) \neq 0$，这时必存在一点$\xi \in (a, b)$，使得
$$
\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
$$
**定理3.4.5（Darboux达布）**：如果$f$在$[a, b]$上可导，那么：

* 导函数$f'$可以取到$f'(a)$与$f'(b)$之间的一切值
* $f'$无第一类间断点

### 3.5 利用导数研究函数

**定理3.5.1**：设函数$f$在区间$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，那么$f$在$[a, b]$上递增（减）的充分必要条件是，$f' \ge 0 (\le 0)$在区间$(a, b)$上成立。

**定理3.5.2**：设函数$f$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导。如果$f' > 0 (f' < 0)$在$(a, b)$上成立，那么$f$在$[a, b]$上是严格递增（严格递减）的。

**定理3.5.3**：设函数$f$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$内除了有限点之外，有正（负）的导数，那么$f$在$[a, b]$上严格递增（严格递减）。

**定理3.5.4**：设函数$f$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，那么$f$在$[a, b]$上严格递增（严格递减）的充分必要条件是：

* 当$x \in (a, b)$时，$f' \ge 0 (f' \le 0)$；
* 在$(a, b)$的任何开子区间上 $f' \neq 0$。

**定理3.5.5**：设函数$f$在$[a, b]$上连续，$x_0 \in (a, b)$：

1. 如果存在正数$\delta > 0$，使得在$(x_0 - \delta, x_0)$上$f' > 0$，而在$(x_0, x_0 + \delta)$上$f' < 0$，那么$f(x_0)$是$f$的一个**严格极大值**，所谓“严格极大值”是指，当$0 < |x-x_0| < \delta$时，$f(x) < f(x_0)$。
2. 如果存在正数$\delta > 0$，使得在$(x_0 - \delta, x_0)$上$f' < 0$，而在$(x_0, x_0 + \delta)$上$f' > 0$，那么$f(x_0)$是$f$的一个**严格极小值**，所谓“严格极小值”是指，当$0 < |x-x_0| < \delta$时，$f(x) > f(x_0)$。

**定理3.5.6**：设函数$f$在$[a, b]$上连续，$x_0 \in (a, b)$是$f$的一个驻点，进一步，设$f''(x_0)$存在，那么：

1. 当$f''(x_0) < 0$时，$f(x_0)$是$f$的一个严格极大值；
2. 当$f''(x_0) > 0$时，$f(x_0)$是$f$的一个严格极小值；

**凸函数**（Convex function）：设函数$f$在区间$I$上有定义，如果对任何$x_1, x_2 \in I, x_1 \neq x_2$，以及任意的$\lambda_1, \lambda_2 > 0$，且$\lambda_1 + \lambda_2 = 1$，都有
$$
f(\lambda_1 x_1 + \lambda_2x_2) \leq \lambda_1f(x_1) + \lambda_2f(x_2)
$$
则$f$为$I$上的**凸函数**。如果上述不等式对任何的$x_1 \neq x_2, \lambda_1, \lambda_2 > 0 (\lambda_1 + \lambda_2 = 1)$不等号总成立，那么$f$在$I$上是**严格凸函数**。

![凸函数示例图](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/df/Convex_supergraph.svg)

**定理3.5.9**：函数$f$在$I$上市凸函数，当且仅当对任何$(x_1, x_2) \subset I$及任何$x \subset (x_1, x_2)$有
$$
\frac{f(x) - f(x_1)}{x - x_1} \leq \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \leq \frac{f(x_2) - f(x)}{x_2 - x}
$$
如果$f$是严格凸函数，则上述是严格的不等号。

**定理3.5.10**：设$f$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上可导，则$f$在$[a, b]$上为凸函数（严格凸函数）的一个充分必要条件是，$f'$在$(a, b)$上递增（严格递增）。

**定理3.5.11**：设函数$f$在$[a, b]$上连续，在$(a, b)$上有二阶导数，则$f$在$[a, b]$上为凸函数的充分必要条件是，$f'' \ge 0$在$(a, b)$上成立；而$f$在$[a, b]$上为严格凸函数的充分必要条件是，$f'' \ge 0$在$(a, b)$上成立，并且在$(a, b)$的任何子区间内$f''$不恒等于0.

### 3.6 L'Hospital法则

**定理3.6.1（L'Hospital洛必达）**：设$f, g$在$(a, b)$上可导，并且$g(x) \neq 0$对$x \in (a, b)$成立，又设
$$
\lim_{x \rightarrow a^+} f(x) = \lim_{x \rightarrow a^+} g(x) = 0
$$
在这些条件下，如果极限$\lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$存在（或为$\infty$），那么便有
$$
\lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}.
$$
**定理3.6.2**：设函数$f, g$在$(a, +\infty)$上可导，并且$g(x) \neq 0$对$x \in (a, +\infty)$成立，又设
$$
\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \lim_{x \rightarrow +\infty} g(x) = 0,
$$
如果极限$\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}$存在（或为$\infty$），有
$$
\lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}.
$$
**定理3.6.3**：设函数$f, g$在$(a, b)$上可导，并且$g(x) \neq 0$，且
$$
\lim_{x \rightarrow a^+}g(x) = \infty
$$
如果极限$\lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}$存在或为$\infty$，那么
$$
\lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)}.
$$

### 3.7 函数作图

**定义3.7.1（拐点）**：设函数$f$在$x_0$的两旁（包括$x_0$在内）有定义，在$x_0$的一侧图像$y = f(x)$时严格凸的，另一侧是严格凹的，那么称$x_0$是$f$的一个**拐点**。

**定义3.7.2（渐近线）**：（1）如果$\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = a$或$\lim_{a \rightarrow -\infty}f(x) = b$，则称$y = a$或$y = b$为$y = f(x)$的一条**水平渐近线**。

（2）如果$\lim_{x \rightarrow x_0^+}f(x) = \pm \infty$或$\lim_{x \rightarrow x_0^-}f(x) = \pm \infty$，则称$x = x_0$为$y = f(x)$的一条**垂直渐近线**。

（3）如果$a \neq 0$，使得$\lim_{x \rightarrow +\infty}(f(x) - (ax + b)) = 0$或$\lim_{x \rightarrow -\infty}(f(x) - (ax + b)) = 0$，则称$y = ax + b$为$y = f(x)$的一条**斜渐近线**。

**作图的步骤**：

1. 确定函数的定义域
2. 判断函数是否有奇偶性、周期性及其他对称性
3. 确定函数的增减区间及极值点
4. 确定函数的凹凸区间及拐点
5. 确定函数是否有渐近线
6. 求出一些特殊点的值

## 第四章 一元微分学的巅峰

### 4.1 函数的微分

**定义4.1.1（可微、微分）**：设函数$f$在$(a, b)$上有定义，且$x_0 \in (a, b)$，如果存在一个常数$\lambda$使得
$$
f(x_0+\Delta x) - f(x_0) = \lambda\Delta x + o(\Delta x) \quad(\Delta x \rightarrow 0),
$$
则称函数$f$在点$x_0$处**可微**。函数的改变量的线性主要部分$\lambda \Delta x$称为$f$在$x_0$处的**微分**，记作$\text{d} f(x_0)$。

因此，当$|x - x_0|$相当小时有：
$$
f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)
$$

一般地，关于**函数四则运算的微分**，有如下法则：

* $\text{d} (f \pm g) = \text{d} f \pm \text{d} g$
* $\text{d} (fg) = g \text{d} f + f \text{d} g$
* $\text{d} (\frac{f}{g}) = \frac{g \text{d} f + f \text{d} g}{g^2}$，其中$g \neq 0$

导函数$f'$可以用$\frac{\text{d}f}{\text{d}g}$来表示，这是导数的Leibniz记号，因为$\frac{\text{d}f}{\text{d}g}$是函数的微分与自变量的微分的商，因此导数也称为**微商**。

## 参考

1. [数学学习小组](https://github.com/yuerYDP/Math_learning_group)

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